Well-posedness of the full Ericksen–Leslie model of nematic liquid crystals

The Ericksen–Leslie model of nematic liquid crystals is a coupled system between the Navier–Stokes and the Ginzburg–Landau equations. We show here the local well-posedness for this problem for any initial data regular enough, by a fixed point approach relying on some weak continuity properties in a suitable functional setting. By showing the existence of an appropriate local Lyapunov functional, we also give sufficient conditions for the global existence of the solution, and some stability conditions.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Sur le caratère bien posé du modèle de cristaux liquides nématiques d’Ericksen–Leslie Résumé. Le modèle de cristaux liquides nématiques d’Ericksen–Leslie est un système couplant les équations de Navier–Stokes et de Ginzburg–Landau. Par une approche de point fixe basée sur des propriétés de continuité faible, nous montrons l’existence d’une unique solution, en temps petit, pour toute donnée initiale suffisamment régulière. En montrant l’existence d’une fonctionnelle de Lyapunov locale appropriée, nous donnons également des conditions suffisantes d’existence globale de la solution, ainsi que des propriétés de stabilité.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Dans cette Note, on analyse le caractère bien posé du modèle de cristal liquide nématique d’Ericksen– Leslie formulé dans [4–6]. Une version simplifiée de ce modèle a été introduite par F.H. Lin dans [7] puis analysée récemment par F.H. Lin et C. Liu (voir [8,9]) par une méthode de Galerkin modifiée et par S. Shkoller (voir [10]) par une méthode de contraction en temps petit suivie d’estimations a priori sur des énergies appropriées. Les différentes méthodes proposées par ces auteurs ne permettent pas d’établir un résultat d’existence locale pour le modèle d’Ericksen–Leslie, essentiellement en raison de l’absence de lois énergétiques appropriées pour ce modèle et d’un phénomène de perte de régularité au niveau de la partie linéaire du système. Note présentée par Philippe G. CIARLET. S0764-4442(01)02161-9/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 919 D. Coutand, S. Shkoller Le modèle d’Ericksen–Leslie est un système d’évolution couplant les équations de Navier–Stokes et de Ginzburg–Landau, où l’inconnue est d’une part la vitesse u(t, x) du fluide et d’autre part le vecteur directeur d(t, x) représentant le paramètre d’orientation du cristal liquide, situé dans un ouvert régulier Ω de R (n= 3 ou 2). Dans ce qui suit, on suppose donné un élément h ∈ H(Ω,R) tel que |h| = 1 sur ∂Ω. L’inconnue (u, d) est solution du système d’évolution : ut +∇uu=−gradp+ ν∆u− λDiv ( ∇d · ∇d ) , (1a) divu(t, x) = 0, (1b) dt +∇ud−∇du= γ ( ∆d− 1 ε2 ( |d| − 1 ) d ) , (1c) u= 0 sur ∂Ω, d= h sur ∂Ω, (1d) u(0, ·) = u0, d(0, ·) = d0. (1e) Dans ce qui précède u0 et d0 sont respectivement la vitesse et le champ directeur initiaux, et satisfont à u0|∂Ω = 0 et d0|∂Ω = h. En ce qui concerne les coefficients, ν > 0 représente la viscosité du fluide, λ > 0 est une constante d’élasticité, ε > 0 est un coefficient de pénalisation par rapport à la contrainte unitaire et γ > 0 est un coefficient de relaxation par rapport au temps. Dans ce qui suit Ω est supposé être de classe C, et la donnée initiale (u0, d0) dans V 2 ×H(Ω;R), où V 2 = { u ∈H(Ω;R); divu= 0, u= 0 sur ∂Ω } . Notre résultat essentiel concerne le caractère localement bien posé du modèle d’Ericksen–Leslie : THÉORÈME 1. – Il existe T > 0 (dépendant de ‖u0‖H2 et de ‖d0‖H3 ) tel que le système (1) admet une unique solution (u, d) dans L((0, T );V )×L((0, T );H(Ω;R)). La solution mise en évidence est de plus dans C([0, T ];V )×C((0, T ];H(Ω;R)). Si en outre la donnée initiale satisfait la condition de compatibilité γ∆d0 +∇d0u0 = 0 sur ∂Ω, alors le vecteur orientation d est dans C([0, T ];H(Ω;R)). En outre, pour tout 0 < t < T , (u(t, ·), d(t, ·)) dépend de manière continue de (u0, d0) dans V 2 × H(Ω;R). Au sujet de ce théorème, la question la plus délicate réside dans l’existence locale qui ne peut s’obtenir par la méthode de Galerkin modifiée de [8] ou par la méthode de contraction de [10] concernant le problème simplifié. Notre preuve réside dans une approche de compacité et de continuité faible par le théorème de point fixe de Tychonoff (voir [2] et la version anglaise). Concernant la question de l’existence globale en temps, dans le cas particulier où l’orientation prescrite sur la frontière est une constante, on peut mettre en évidence une fonctionnelle de Lyapunov locale appropriée et obtenir le résultat suivant : THÉORÈME 2. – On suppose la condition frontière h = e sur ∂Ω, où e est un vecteur donné de R. Il existe un voisinage Θ de (0, e) dans V 2 ×H(Ω;R) tel que, pour toute donnée initiale (u0, d0) ∈ Θ, la solution mise en évidence par le théorème précédent est définie sur [0,+∞[ avec les propriétés de régularité précédentes pour tout T > 0, et reste dans un voisinage de (0, e) dans V 2 ×H(Ω;R). Au sujet de la stabilité du système, avec une hypothèse supplémentaire de petitesse sur la constante d’élasticité par rapport au produit de la viscosité et de la constante de relaxation, on obtient en outre : THÉORÈME 3. – Avec les hypothèses du théorème 2, si l’on suppose en outre λ < νγ, alors la solution (u(t, ·), d(t, ·)) tend vers (0, e) dans V 2 ×H(Ω;R) lorsque t tend vers +∞.